Proposition pour annuler les erreurs systématiques dans un dispositif expérimental sur l'effet photoélectrique

Abstract

Cet article propose une méthode de calibration des montages expérimentaux destinés à étudier l'effet photoélectrique. Il s'adresse aux professeurs d'université, aux professeurs assistants ou aux techniciens de laboratoire qui souhaitent améliorer la précision des résultats obtenus par leurs étudiants. En particulier, il sera d'une grande aide pour déterminer la valeur de la constante de Planck avec une précision améliorée.

1. Introduction

Dans une configuration photoélectrique typique [P61], outre les erreurs habituelles liées aux mesures, il existe un ensemble d'erreurs systématiques propres au dispositif qui ne peuvent être corrigées. C'est ce qui nous empêche d'obtenir une fonction échelon (step-function) lors de la mesure du courant en changeant la tension. Au lieu de cela, une relation sigmoïde est obtenue. Dans ce qui suit, le lien entre cette sigmoïde et la fonction échelon théorique sera étudié et un modèle visant à annuler ces erreurs systématiques sera construit.

2. Relation entre la tension d'arrêt V_stop théorique et les données expérimentales brutes

Comme discuté précédemment, lorsqu'elles sont tracées, les données brutes suivent une relation sigmoïde de la forme: \begin{equation} \label{eq:sigmoid_general} f(x) = \frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}} \end{equation} où \(L\) est l'asymptote horizontale supérieure (celle du bas est à \(x=0\)), \(k\) est un paramètre influençant la pente de la tangente au point d'inflexion et \(x_0\) est la valeur \(x\)du point d'inflexion. La pente de la tangente au point d'inflexion est donnée par \(f^{\prime }(x_0)\). On a que: \begin{equation*} \frac{\text{d}f}{\text{d}x} = \frac{Lke^{-k(x-x_0)}}{\left(1+e^{-k(x-x_0)}\right)^2} \end{equation*} donc \begin{equation} \label{eq:tan_PI} f^{\prime}(x_0) = \frac{kL}{4} \end{equation}

2.1. Étapes

Pour chaque ensemble de données (un par fréquence), les étapes ci-dessous seront suivies:

1. Détermination des paramètres de \eqref{eq:sigmoid_general} en effectuant une régression des moindres carrés non linéaire.
2. Mappage des données de l'intervalle \(y\) \([0,L]\) à \([0, 1]\) by en multipliant les coordonnées de l'axe \(y\) par \(1/y\).
3. Calculez l'équation 'réduite' de la tangente au point d'inflexion en utilisant les paramètres trouvés en 1.
4. Calculez la valeur théorique de \(V_{\text{stop}}\)en utilisant la constante de Planck, la charge de l'électron et la fréquence avec laquelle nous travaillons.

2.1.1. Régression sigmoïde

Dans le cas d'une configuration photoélectrique, \(x_0 = 0\). Cela reflète le comportement selon lequel si aucune tension n'est appliquée, le courant est celui produit par l'effet PE, qui est positif par convention. Si une tension positive supplémentaire est appliquée, le courant sera plus grand, et donc tendra vers (\L\). Par contre, si une tension négative est appliquée, le courant sera ralenti, jusqu'au point où il sera complètement arrêté, c'est à dire en \(V_{\textrm{stop}}\). Cependant, lors de la régression, nous ne la forcerons à passer à aucun moment afin de ne pas inclure de biais. Dans R, les fonctions nls() et SSlogis() peuvent être utilisées pour déterminer les paramètres. Nous devrions maintenant avoir les valeurs de \(L\), \(k\) et \(x_0\).

2.1.2. Mappage sur [0,1]

Parce que nous connaissons \(L\), nous pouvons normaliser nos données. La raison pour laquelle cela est fait est de permettre à nos différents ensembles de données d'être comparés. Aussi, à chaque fréquence correspond une et une seule pente 'normalisée'. En effet, à chaque fréquence correspond un \(V_{stop}\) et que l'erreur due à la configuration est constante.

2.1.3. Équation de la tangente au PI

En utilisant la valeur de \(k\) obtenue en 2.1.1, l'équation \eqref{eq:tan_PI} et en fixant \(L=1\) parce que nous normalisons, nous obtenons la valeur de la pente \begin{equation} m=\frac{k}{4} \end{equation} Pour les besoins du tracé, nous pouvons obtenir l'interception avec le formule suivante: \begin{equation*} p = \frac{2-kx_0}{4} \end{equation*}

2.1.4. Valeur théorique de V_stop

La valeur théorique de \(V_{\textrm{stop}}\) est obtenue avec l'équation suivante: \begin{equation} eV = h\nu \iff V = \frac{h\nu}{e} \end{equation} où: \begin{align*} v &= v_{\text{stop}}\\ e &= \text{la charge de l'électron}\\ h &= \text{la constante de Planck}\\ \nu &= \text{la fréquence} \end{align*}

3. Analyse

Une fois que plusieurs fréquences ont été étudiées, la relation entre la pente \(m\) et la tension d'arrêt attendue \(V_{stop}\) peut être analysée. L'espoir ici est d'observer une relation claire entre les valeurs, qu'elle soit linéaire, polynomiale ou autre. L'observation d'une telle relation nous permettrait de la modéliser et d'utiliser le modèle construit pour calibrer la configuration.

3.1. Le cas de l'ULB

Comme on peut le croire, cette méthode a été utilisée et testée avant sa publication. Ici, il est appliqué à une configuration PE à l'Université Libre de Bruxelles. De manière satisfaisante, une relation linéaire a été observée.

Références